ДЕПОНИРОВАННЫЕ РАБОТЫ
Юдин.М.Н., Казанцева Е.В,
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ НА ОСНОВЕ ВАРИАЦИОННОГО ПОДХОДА ПРИ РЕШЕНИИ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ МТЗ МЕТОДОМ СЕТОК В ДВУМЕРНОЙ СРЕДЕ
Решение задач геоэлектрики методом конечных разностей применительно к неоднородным средам требует использования неравномерных шагов сетки. В связи с этим большое значение имеет правильный выбор коэффициентов разностной схемы для получения результатов с требуемой точностью. Численные эксперименты свидетельствуют о том, что конечно-разностная аппроксимация дифференциальной задачи для случая Е-поляризации на сетке с неравномерными шагами иногда приводит к значительным погрешностям в решении и существенно замедляет сходимость итерационного процесса.
Известны случаи, когда решение одномерной задачи по программе [4] с грубо неравномерной сеткой требовало более 1000 итераций.
Рассмотрим вариационный метод получения коэффициентов разностной схемы и сравним их с коэффициентами, получаемыми при конечно-разностной аппроксимации исходной дифференциальной задачи.
Пусть прямоугольной области
соответствует среда с кусочно-постоянной проводимостью и постоянной магнитной проницаемостью :=:0 .Свойства среды по направлению оси х остаются постоянными.
(1)
1. Е-поляризация.
На границу раздела земля-воздух (z = 0) падает плоская однородная монохроматическая волна, вектор электрического поля которой имеет одну ненулевую компоненту Ех, изменяющуюся во времени по закону Применительно к Е-поляризации поведение компоненты Ех в двумерной горизонтально-неоднородной среде описывается уравнением Гельмгольца:
где -волновое число, ω - круговая частота.
На границе Г области ω , как правило, задаются асимптотические краевые условия. При вариационном подходе решение задачи (1) сводится к поиску экстремума функционала [6]:
(2)
для которого уравнение (1) является уравнением Эйлера. Введем обозначение: тогда (2) примет вид:
(3)
Воспользуемся алгоритмом получения коэффициентов разностной схемы, предложенным в работе [2] применительно к уравнению диффузии. Будем считать, что проводимость каждой ячейки сетки постоянна, и рассмотрим фрагмент сетки, изображенный на рис.1. Опуская очевидные промежуточные выкладки, для подобласти D1. получим аппроксимацию I1 функционала (3):
Рис.1
(4)
где h1, h2 - шаги сетки по оси y; d1, d2 - шаги сетки по оси z, примыкающие к точке Q; ui, vi - значения функций u(y,z) и u(y,z) в i-том узле (i=0,…,8, см. рис 1). Выражения, аналогичные (4), получим для подобластей D2 , D3 и D4. Просуммиру ем их, найдем производную по uо и приравняем ее нулю. После преобразований получим:
(5)
(6)
Еще одно уравнение, аналогичное (5), легко получить из условия равенства нулю производной по v0 от суммы выражений типа (4). Таким образом, коэффициенты разностной схемы получаются такими же, как и в работе [7] за исключением коэффициента
при uо (или vо), который учитывает структуру и проводимости ячеек сетки, окружающих точку 0. В качестве проводимости отнесенной к этому фиксированному узлу сетки берется средняя продольная проводимость прилегающих к нему ячеек. Следует заметить, что, исходя из физических соображений, средневзвешенные значения волновых чисел (б) успешно используются нами в программах с автоматической дискретизацией области D и проектировании на сформированную сетку
заданной модели геоэлектрического разреза.
...