Примерные темы дипломных работ для ПМ-12 (прикладная математика)

 

1. Курвлет-преобразование и оценка его возможностей для анализа данных с целью выделения полезного сигнала на фоне помех.

 

В последние два десятилетия мы фактически являемся свидетелями экстраординарной революции на пути обработки, хранения, визуализации и передачи цифровых данных. Эту революцию можно назвать триумфом многомасштабного приближения. Сегодня идеи многомасштабных преобразований проникают в различные области современной науки и технологии. В обработке сигналов они привели к удобным инструментам при анализе больших наборов данных с целью их эффективного сжатия или удаления шума из сигналов и изображений, а также идентификации резких изменений в таких наборах данных .

В дипломной работе предполагается рассмотреть две недавно разработанные многомасштабные системы представлений, называемые риджлет- и курвлет-преобразованиями, которые базируются на идеях вейвлет-преобразования. Эти системы комбинируют многомасштабный анализ с выделением геометрических особенностей и структур. Вейвлеты и связанные с ними классические алгоритмы кратно-разрешающего анализа двумерных данных является довольно грубым инструментом. Несмотря на успех классических вейвлетов, есть объекты, например, изображения, которые не могут быть представлены посредством изотропного масштабирования, что послужило основанием для построения других видов многомасштабных представлений, о которых здесь пойдет речь. В отличие от вейвлетов, которые характеризуются двумя основными параметрами (масштаб (scale) и положение (location)), риджлет- и курвлет-преобразования в число основных параметров включают три элемента: масштаб, положение и направление (direction) линейных сегментов данных. Эти инструменты трансформации двумерных данных обладают высокой чувствительностью и точностью при обнаружении и выделении объектов и их границ.

 

2. Преобразование Радона и его применение в медицине и геофизике.

 

Преобразование Радона (RT) - фундаментальный инструмент в широком диапазоне дисциплин, включая обработку данных радара, геофизических данных, испытание на разрушение и медицинской информации.

Обратное преобразование Радона (IRT) широко используется в медицине, где почти идеальны геометрия лучей и распределение данных. В дипломной работе предполагается обсудить основы теории интегрального преобразования Радона и оценка его возможностей для улучшения соотношения сигнал/шум при обработке двумерных геолого-геофизических данных, а также улучшению качества изображений.

 

3. Применение нелинейных уравнений в частных производных для обработки геолого-геофизических данных.

​

Дипломная работа связана с решением двух основных задач.

Первая задача заключается в изучении возможностей и адаптации нелинейных уравнений в частных производных к обработке и интерпретации геофизических данных.

Вторая – в программной реализации алгоритмов.

В работе должен быть сделан обзор методов фильтрации на основе уравнений в частных производных и сформулированы основные задачи, решаемые с помощью минимизации вариационных функционалов.

Основная часть работы посвящена вопросам построения алгоритмов на основе частных производных. Здесь описаны различные модификации алгоритма, их особенности преимущества и недостатки. В работе содержатся результаты тестирования алгоритма на модельных и реальных данных.

 

4. Применение вейвлетов для обработки космоснимков и сейсмических данных.

 

Одна из наиболее известных задач, в которой вейвлеты продемонстрировали свое неоспоримое преимущество над традиционным разложением в ряд Фурье, является задача кодирования изображений. В настоящие время идет активная работа по утверждению нового стандарта хранения изображений: JPEG2000. Подавляющее большинство вариантов этого стандарта использует вейвлеты, показывающие лучшие результаты, чем другие методы обработки изображений.

Вейвлеты также используются в задачах аппроксимации, подавление шумов, выделения границ, распознаванием объектов. Одна из общих проблем решения перечисленных задач: выбор оптимального вейвлет базиса.

При обработке такого типа информации актуальны проблемы сжатия, удаления шума и решение ряда других задач, так как объемы данных, которыми оперируют в 3D-сейсмике, могут достигать огромных объемов, как и фотографии со спутников. Кроме того, оба типа данных могут быть осложнены помехами. Часто стоит задача выделения границ объектов на космических снимках или в сейсмических сигналах.

Дипломная работа будет направлена на сравнению эффективности применения различных вейвлетов для цифровой обработки двух типов данных:

спутниковых снимков поверхности земли (космоснимков),

сейсмических сигналов.

 

5. Применение альтернирующего метода Шварца для решения нестационарной задачи МТЗ.

​

Альтернирующий метод Шварца (АМШ) основан на декомпозиции исходной задачи на ряд подзадач, каждая из которых решается независимо. Рекомпозиция общего решения строится посредством итерационного процесса, состоящего в последовательном решении подзадач, направленного на согласования их решений. Нужно построить процесс так, чтобы в конечном итоге получить решения исходной задачи с наперед заданной точностью.

Особенно важен такой подход для построения численного решения в неограниченной двух- или трехмерной области. В этом случае, как правило, удается построить вычисления путем последовательного решения задач в ограниченной и неограниченной областях, имеющих непустое пересечение. В первой из них коэффициенты дифференциального уравнения переменны и решение получают численно, а во второй – коэффициенты кусочно-постоянны и поэтому удается получить в ней аналитическое решение. Последовательное решение двух классов задач по алгоритму Шварца позволяет выполнить итерационную рекомпозицию решения исходной задачи.

Обычно алгоритм Шварца применяют к краевым задачам с уравнениями эллиптического типа. Гораздо реже АМШ используется для изучения диффузионных, тепловых и других процессов, описываемых дифференциальными уравнениями параболического типа.

 

6. О применении метода Шварца для решения задачи ВЭЗ в трехслойной среде.

​

Электроразведка, является одним из основных геофизических методов изучения геологического строения верхних частей земной коры. Существует более пятидесяти различных методов и модификаций, предназначенных как для глубинных исследований, так и для изучения верхней части разреза. Их можно разделить на методы с указанием частоты электромагнитных полей, используемых в этих методах: методы постоянного поля (частота 0 гц), методы переменных электромагнитных полей.  В дипломном проекте будет рассматриваться метод вертикального электрического зондирования (ВЭЗ), являющийся одним из методов геометрического зондирования.

Метод ВЭЗ является одним из старейших методов электроразведки. Первые применения метода относятся к 20-м г.г. XX века. Сравнительная простота и наглядность ВЭЗ привела к его широкому распространению и развитию во всем мире. Он применяется при геокартировании, при поиске и разведке месторождений полезных ископаемых, при гидрогеологических, инженерно-геологических и экологических исследованиях. Малоглубинная модификация ВЭЗ применяется для решения археологических и геотехнических задач.

​

При написании дипломной работы нужно:

Сформулировать:

• Цель работы и ее актуальность

• Основные задачи

• Подходы к решению задач, их новизна

• Численные алгоритмы и их реализация

• Обоснование выбранной системы программирования

Практическую ценность

Объем и структуру работы.

Продумать рубрикацию (названия глав, разделов параграфов), создать оглавление. Нумерацию рисунков и формул, согласовать со структурой работы.

Выполнить аналитический обзор литературы.

Привести список использованной литературы и ссылок на Интернет-сайты.

(При написании диплома можно опираться на существующие дипломные работы студентов)