

ДЕПОНИРОВАННЫЕ РАБОТЫ

М.Н. Юдин
ПРИМЕНЕНИЕ АЛЬТЕРНИРУЮЩЕГО МЕТОДА ШВАРЦА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ
На современном уровне развития вычислительных средств заслуживает внимания метод решения краевых задач, предложенный Шварцем в шестидесятых годах прошлого столетия при решении задачи Дирихле для
уравнения Лапласа. Л.В.Канторович и В.И.Крылов в работе [2] показали, что он с успехом может быть применен для существенно более широкого класса задач, связанных с решением дифференциальных и интегральных
уравнений. В геоэлектрике метод Шварца может быть применен, главным образом, в двух связанных между собой основных аспектах:
1. По известным решениям для сравнительно простых областей, получать на основе их комбинации решения для областей существенно более сложно построенных.
2. Комбинировать решения задач различными методами на областях с непустым пересечением, используя в каждой из них метод, наиболее эффективный для. данного вида области. На первом пути можно получить, например, решение двумерной задачи для геофизического профиля, вообще говоря, сколь угодно большой протяженности, что особенно важно для интерпретации результатов профильных электроразведочных работ. Кроме того, менее ограничительным становится предположение о локальном характере двух- или трехмерной неоднородности, существенным образом использующееся при численном решении внутренних краевых задач геоэлектрики. Другой путь использования метода Шварца состоит в согласовании решений внутренних краевых задач, полученных посредством таких универсальных методов как метод сеток или конечных элементов, и решений внешних краевых задач спектральными методами или методом
интегральных уравнений, а в некоторых простых случаях и аналитическими решениями. В работе [2] доказана сходимость метода Шварца применительно к задаче Дирихле для уравнения Гельмгольца

(1)
Уравнение (1) соответствует случаю Е-поляризации, если применить к уравнениям Максвелла преобразование Лапласа-Карсона по времени и затем рассматривать функцию u на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости (в плоскости комплексной частоты). Что же касается наиболее важного в практическом отношении комплексного волнового числа, порождающего комплексные компоненты вектор-функции, то использовать непосредственно результаты Д.В.Канторовича и В.И.Крылова нельзя.
Можно показать сходимость этого метода для уравнения

(2)
с краевыми условиями первого рода в трехмерной области С этой целью решение уравнения (2) в шаре T ⊂ Ω радиуса R представляется в виде суммы двух функций u=v+w
Функция v есть решение задачи


(3)
а w - решение задачи

(4)
Введем сферические координаты с центром в точке и полярной осью, параллельной оси x. Для произвольной точки M (x,y,z) шара получим:


Функция v в шаре выражается посредством интеграла Пуассона

где

Решение задачи (2) записывается через функцию Грина для шара

где

ρ - расстояние от точки Р до центра сферы, - расстояние между точками М и Р , - расстояние между точкой , сопряженной с М относительно сферы, и точкой Р. Таким образом, функция u( x,y,z) в шаре удовлетворяет интегральному уравнению




(5)
которое остается без изменения и для комплексных значений волнового числа. На основе соотношения (5), следуя [2], доказывается сходимость метода Шварца для уравнения (2) с вещественным волновым числом. В случае комплексных
значений k сходимость метода не гарантируется. Не претендуя на строгость, покажем сходимость метода Шварца в случае комплексных волновых чисел при ограничительных предположениях. Пусть локальная трехмерная неоднородность расположена при z > z . В области z<z модель геоэлектрического разреза представляет собой горизонтально-однородную
слоистую среду. Рассмотрим две области


Будем считать, что вектор F соответс твует вектору Ea или Ea , а компоненты всех рассматриваемых векторов удовлетворяют условию излучения. В каждом j-том пласте в 1 Ω , не содержащем источников, вектор 1 j F является решением задачи

(6)
На границах раздела свойств выполняются условия сопряжения для компонент 1 j F . Пусть в области 2 Ω вектор 2 j F есть решение задачи:

(7)
где

или

...