Аннотация.

Рассмотрены проблемы, возникающие при решении прямой задачи ВЭЗ посредством одной из модификаций альтер­нирующего метода Шварца. Показано, что класс моделей, для которых этот итерационный метод сходится, ограничен. Намечены пути существенного расширения элементов этого класса. Сходимость последовательных приближений к решению подтверждена вычислительными экспериментами.

​

Ключевые слова. Aльтернирующий метод Шварца, прямая задача, ЭМ поля, модели геоэлектрики, итерационное решение.

​

ВВЕДЕНИЕ.

Типичной моделью среды в геоэлектрике является локальная неоднородность, содержащаяся в относительно простой по структуре неограниченной среде с регулярным распределением свойств. Чаще всего вмещающая среда является горизонтально-слоистой (электромагнитные зондирования на постоянном и переменном токе) или цилиндрически-слоистой (задачи каротажа или наземной электроразведки с источником поля в скважине). Решение задач для таких относительно простых моделей может быть найдено аналитически и представлено в виде несобственных интегралов (интегралов Фурье или Фурье - Бесселя). Типичная задача моделирования состоит в изучении влияния достаточно сложно построенной локальной неоднородности на электромагнитное поле в слоистой среде.

При численном решении задач в неограниченных областях нужно перейти к области конечных размеров и задать на ее искусственно созданной внешней границе краевое условие, которое будет известно только после решения задачи. Имеется несколько подходов для преодоления этого затруднения. Мы отдаем предпо­чтение алгоритмам, базирующимся на идеях альтернирующего метода Шварца (АМШ) [3, 4, 6, 7].

АМШ состоит в декомпозиции исходной задачи на ряд независимых подзадач в областях, имеющих непустое пересечение. «Сшивание» их решений происходит в итерационном процессе. Скорость сходимости последовательных приближений к искомому решению зависит от величины перекрытия (наложения) подо­бластей, в которых решаются частные задачи.

Обобщение алгоритма Шварца на задачи геоэлектрики мы назвали декомпозиционным альтернирующим методом (ДАМ). Различные варианты и методы декомпозиции, вопросы сходимости итерационного процесса Шварца рассмотрены в наших публикациях и диссертации [7]. Один из многочисленных вариантов ДАМ получил название глобальной декомпозиции (ГДАМ). Суть его состоит в последовательном решении внешних и внутренних краевых задач в налегающих областях. ГДАМ позволяет преодолеть отмеченную выше проблему построения граничных значений на искусственно созданной внешней границе области.

Идея рассмотренного здесь алгоритма решения задачи предложена нами в 1981 г. применительно к ре­шению двумерных и трехмерных задач в частотной области на основе использования интегральных транс­формаций. Дальнейшее развитие она получила в работах [6, 7]. В статье [6] предложена модификация ГДАМ, обеспечивающая увеличение скорости сходимости итерационного процесса Шварца за счет того, что огра­ниченная неоднородность (вставка) целиком содержится в неограниченной (фоновой) среде, для которой (в отсутствие вставки) решение известно. В этом случае достигается максимально возможное пересечение областей. Такой алгоритм мы назвали модифицированным методом Шварца. В нем требуется аккуратно сфор­мулировать условия, при выполнении которых итерационный процесс сходится. В работе [6] суть алгоритма проиллюстрирована на примере решения задачи магнитотеллурических зондирований (МТЗ). Итерационный процесс Шварца конструировали из решений задач в горизонтально-слоистой среде и задачи Дирихле во вставке. Сходимость итерационного процесса для упрощенной модели доказывалась аналитически, а для бо­лее сложных моделей проверялась численными экспериментами. Алгоритм обеспечивает высокую скорость сходимости итерационного процесса, уменьшает количество решаемых подзадач и реализует минимально возможные размеры сеточной области, в которой одна из подзадач решается численно.

Настоящая статья посвящена обсуждению применимости модифицированного метода Шварца к модели­рованию ЭМ полей в случае трехмерных моделей среды и контролируемых источников ЭМ поля. Сходимость метода решения задач существенным образом опирается на численные эксперименты, поэтому для ускорения вычислений и уменьшения затрат на программирование была взята типичная трехмерная задача геоэлектрики на постоянном токе. В качестве примера модели среды выбрана локальная вставка в горизонтально-слоистой среде, имеющая форму цилиндра конечных размеров или прямоугольного параллелепипеда. В работе также затронута проблема расширения класса моделей, для которых обобщение метода обеспечивает получение решений задач в практически важном диапазоне изменения свойств среды.