ДЕПОНИРОВАННЫЕ РАБОТЫ
Юдин М.Н.
О ПРИМЕНЕНИИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ В ПРЯМЫХ ЗАДАЧАХ ГЕОЭЛЕКТРИКИ С ГАРМОНИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ ПОЛЯ
Вариационный подход к решению задач геоэлектрики рассмотрен в работах [5-9]. Для задач электродинамики полых систем эта проблемы обсуждаются в монографии В. В. Никольского [5]. В настоящей работе она будут рассмотрена с точки зрения использования вариационных формулировок задач геоэлектрики для построения разностных схем. Результаты работ [6,7] обобщаются на модели среды с переменной магнитной проницаемостью, так как недоучет ее влияния может привести к существенным погрешностям интерпретации полевых материалов (см., например, [3]). Будем полагать, что комплексные амплитуды компонент векторов напряженности электрического Е и магнитного Н полей изменяются по закону e−iωt Параметры среды ε (диэлектрическая проницаемость), μ (магнитная проницаемость) и σ (удельная электропроводность) будем считать кусочно-гладкими функциями декартовых координат х, у, z. Используя систему единиц СИ и общепринятые обозначения, запишем уравнения Максвелла в следующем виде:
(1)
где σ =σ − iωε .
Из (1) поочередным исключением Е и Н получают:
(2)
где k2 = −iωμσ.
Электромагнитное поле в неоднородной среде удобно представать как сумму нормального и ,
и аномального и полей:
Под нормальным полем будем понимать поле, соответствующее заданному источнику для относительно простой (по отношению к рассматриваемой) модели среды, для которой известно решение прямой задача. Примером нормальных полей по отношению к классу трехмерно неоднородных моделей среды могут служить решения прямых задач для одномерных, двумерных или более "простых" трехмерных геоэлектрических разрезов. Уравнения Максвелла для нормальных полей с тема же сторонними источниками электромагнитного поля cт j , что а в (1) имеют вид:
(3)
Здесь σ=σ −iωε σ ε μ – проводимость, диэлектрическая и магнитная проницаемости нормального разреза. Вычитая аз (1) соответствующие уравнения системы (3), после преобразования получим дифференциальные уравнения аномальных полей:
где
(4)
Введем обозначения [5]
тогда уравнения (3)-(4) можно записать в обобщенном виде:
где
Функция v должна принадлежать области определения DL оператора
Такие функции называются допустимыми для оператора L . Для получения (2), (4) из (5) нужно сделать замены в соответствии с таблицей 1.
Следуя [5], будем использовать обозначения
1. если W - кусочно-гладкая вектор-функция, сохраняющая непрерывность тангенциальной составляющей Wτ на поверхности разрыва ∂ Ω, причем, если точка P ∈ ∂ Ω, то
...
