ДЕПОНИРОВАННЫЕ РАБОТЫ
Юдин М.Н.
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ГЕОЭЛЕКТРИКИ ПО МЕТОДУ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Функционалы и общая схема алгоритма расчета электромагнитного поля в трехмерной среде приведены в работах [1,3-5]. В настоящей статье внимание уделено двум моментам:
1. Получению конструктивных вычислительных схем достаточно общего вида.
2. Рассмотрению специфики вычислений для математических моделей, содержащих локальные S -пленки, при решении задачи относительно вектора напряженности электрического поля E. Решение геоэлектрической задачи сводится к отысканию стационарного значения функционала [1,4]
(1)
где вектор u соответствует аномальным полям
или
-волновое число среды η = μ, когда
или
если
f-произвольные локальные (финитные) источники поля; Ω-ограниченная трехмерная область с границей Ω
-поверхность j-той неоднородной локальной S-пленки Прайса-Шейнманна
с проводимостью Sj; τ u - составляющая вектора u , тангенциальная к
Стационарное значение u0 функционала (1) удовлетворяет уравнению [1,4]:
(2)
краевым условиям
(3)
и известному условию сопряжения на -той поверхности
(4)
Учитывая ограниченные ресурсы памяти ЭВМ, будем использовать только конечные элементы, представляющие собой прямоугольные параллелепипеды в прямоугольной декартовой системе координат. Они получаются в результате разбиения трехмерной области системой плоскостей, параллельных координатным плоскостям.
При решении задачи будем использовать краевое условие первого рода
(5)
Функция корректируется в процессе расчетов на основе решения внешней краевой задачи для полупространства (верхняя и нижняя границы) и посредством учета асимптотического поведения компонент электромагнитного поля на относительно больших расстояниях от неоднородности (боковые границы) в соответствии с алгоритмом Шварца (асимптотика 3-го порядка). В пределах каждого элемента будем использовать локальные координаты Начало координат соответствует ближней левой верхней вершине ячейки.
Вычисления будем вести на сетке:
с шагами
Для решения задачи (2-3) в каждом из М конечных элементов будем исп ользовать набор базисных (пробных) функций
В локальной системе координат должны удовлетворять условиям:
Для упрощения индексации выделим один элемент с волновым числом k и вычислим его вклад в функционал (1) (рис. 1а). У функции индекс j временно будем опускать.
Сначала будем полагать, что в пределах элемента S-пленки отсутствуют. Поле будем аппроксимировать
в нем отношением
где
(6)
...
