Введение
За последние 20 лет в прикладной математике был развит и оформился в самостоятельное направление раздел, получивший название «вейвлет-преобразование» (wavelet transform)2. Автор этого термина Жан Морле. Свой знаменитый “вейвлет” он придумал и применил при обработке данных сейсморазведки [Goupilland at all, 1985]. Начиная с девяностых годов прошлого века, на основе идей вейвлет-преобразования сигналов начал интенсивно развиваться математический аппарат для многомасштабного анализа многомерных данных. В настоящее время преобразование данных этого класса играет фундаментальную роль в теории аппроксимации.
Вейвлеты оперируют двумя основными параметрами: масштабом (scale) и положением (location). Двумерные вейвлеты, как правило, имеют только фиксированное количество направленных элементов (см. рис. 2). Но в реальных сигналах могут присутствовать совершенно другие направления, которые нужно подчеркнуть посредством трансформации данных. В последнее десятилетие появилось большое число публикаций, посвященных классу трансформаций многомерных данных, которые включают дополнительный параметр – ориентацию линейных сегментов. Следует отметить цикл статей E. J. Candиs and D. L. Donoho и ряда их соавторов. Наряду с алгоритмами многомасштабного анализа сигналов, индуцированными вейвлетами, этот класс интегральных трансформаций пронизывают идеи, содержащиеся в преобразовании Радона, – математическом аппарате, лежащем в основе компьютерной томографии [Наттерер, 1990; Deans, 1983]. В отличии от вейвлетов, трансформации, о которых здесь пойдет речь, в число основных параметров включают три элемента: масштаб (scale), положение (location) и ориентацию (orientation) линейных сегментов данных.
Приведем перечень основных модификаций интегральных преобразований рассматриваемого класса: beamlet transform (бимлет-преобразование), curvelet transform (курвлет-преобразование), ridgelet transform (риджлет-преобразование), bandelet transform (бендлет-преобразование). Эти и подобные им трансформация двумерных и многомерных данных обладают высокой чувствительностью и точностью при обнаружении и выделении объектов и их границ [Choi at all, 2002]. Для краткости, когда это не будет приводить к недоразумениям, будем называть все перечисленные выше и им подобные интегральные преобразования бимлет-преобразованиями. Основные ссылки делаются на сайты в Интернете, где можно найти исчерпывающую информацию о работах по бимлет- преобразованиям.
Адаптивная фильтрация данных на основе выбора разумного порога и усечения части коэффициентов в области изображений (после применения рассматриваемых здесь дискретных интегральных преобразований) и последующего восстановление сигнала, является важной составной частью сжатия данных и/или увеличения отношения сигнал/шум. Центральное место здесь занимает выбор в некотором смысле оптимального уровня во множестве коэффициентов, который является границей между полезной информацией и наиболее вероятной помехой.
Здесь основное внимание будет уделено иллюстрации результатов работы алгоритмов на простых тестовых примерах и реальных данных геофизики (сейсморазведки и электроразведки). Автор ограничился только анализом двумерных данных.
Приложения рассматриваемого класса трансформаций содержатся в работах [Юдин и др., 2005].
...