Введение

Настоящая работа направлена на то, чтобы геофизики получили представление о современных идеях и алгоритмах многомасштабного преобразования данных (уже получивших широкое распространение при обработке изображений) и адаптировать их применительно к обработке и интерпретации геофизической информации. В частности, экспериментальные геофизические материалы, как правило, содержат высокий уровень помех геологического, технического и техногенного характера. Проблема улучшения соотношения сигнал/шум является актуальной задачей. При фильтрации данных, ввиду разноплановости конкретных практических задач, нужно каждый раз находить оптимальный набор методов их решения. Часто для ее решения используют сглаживание посредством сплайнов, фильтрацию на основе Фурье-анализа, статистический анализ, метод наименьших квадратов и им подобные классические методы. К настоящему времени сформировалось две главные школы в области математической обработки данных. Они отличаются используемым математическим аппаратом, но решают близкие задачи аппроксимации на основе одного и того же подхода – многомасштабного анализа (Multi-Scale Analysis2).
Первая школа связана с успехами в вычислительном гармоническом анализе (CHA), в котором центральное место занимает вейвлет-преобразование (см., например, (Малла, 2005)). Начиная с девяностых годов прошлого века на основе идей вейвлет-преобразования сигналов начал интенсивно развиваться математический аппарат для анализа многомерных данных, который наряду с алгоритмами многомасштабного анализа сигналов, индуцированными вейвлетами, пронизывают идеи, содержащиеся в преобразовании Радона, – математическом аппарате, лежащем в основе компьютерной томографии. Приведем перечень основных модификаций интегральных преобразований рассматриваемого класса: риджлет-преобразование (ridgelet transform), курвлет-преобразование(curvelet transform), бимлет–преобразование (beamlet transform) (Choi S. et all, 2002). Эти и подобные им трансформации многомерных данных обладают высокой чувствительностью и точностью при обнаружении и выделении объектов и их границ. Информацию об алгоритмах и более полную библиографию по этому направлению обработки данных можно найти в работах (Donoho et all, 2000; Choi et all, 2002; Юдин и др., 2007) и на сайте http://www.curvelet.org/papers.html.
Вторая школа базируется на использовании нелинейных дифференциальных уравнений в частичных производных (PDE) и минимизации связанных с ними функционалов. В последние годы, после работы D. Mumford и J. Shach (1985), эта школа задавала тон в новых концепциях и методах обработки, которые стали широко популярными. Обзор главных результатов и достижений в этой области можно найти в работах (Morel, Solimini, 1995; Scherzer,1997; Candes, Guo, 2002; Rudenko, 2004; Yin, Goldfarb, and Osher, 2005). Несмотря на большие достижения, методы обработки изображений, основанные на CHA, воспринимаются этой школой скептически. Например, Osher и его коллеги выступают против CHA-методов, аргументируя тем, что фильтрация данных посредством вычислительного гармонического анализа приводит к искусственным колебаниям около разрывов даже тогда, когда первоначальный сигнал (изображение) может быть плоским с обеих сторон неоднородности (явление псевдо-Гиббса). Этот феномен особенно сильно проявляется при восстановлении полезного сигнала из данных, осложненных помехой (denoising). Фильтрация «зашумленных» данных на основе PDE значительно превосходят CHA-методы, когда требуется восстановить границы полезного сигнала, на которых он имеет большие градиенты.
Синтез СНА и PDE. J. Candes и F. Guo (2001) на основе комбинирования идей CHA и минимизации функционалов, используемые при PDE-подходе, развили нелинейные правила для частичного синтеза, которые не подвержены появлению «дребезга» вблизи точек разрыва или резкого изменения данных.
Настоящая работа посвящена обсуждению PDE-алгоритмов преимущественно с позиций улучшения соотношения сигнал/шум в экспериментальных данных Приведенные в работе графические материалы, иллюстрирующие результаты численных экспериментов, показывают потенциальные возможности рассмотренных здесь методов и очерчивают области их применения в геофизике.