МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
М.Н. Юдин, В.М. Юдин
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГЕОЭЛЕКТРИКИ
ЧАСТЬ II. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ
Часть II. Численных исследование одномерных моделей: Учебное пособие.
М.Н.Юдин, Юдин В.М. Рос. госуд. геологоразв. унив. -М.: 2011. 177 с.
Первая часть пособия («Слоистые модели среды») издана в 2007 г. Вторая часть посвящена численному исследованию одномерных моделей геоэлектрики.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям: 230401 «Прикладная математика» и 130201 «Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых» (08.07, 09.01, 09.02, 09.05). Объем и содержание пособия соответствуют учебной программе по дисциплине «Математическое моделирование в геоэлектрике» специальности ПМ и будет полезным при изучении курсов «Теория поля», «Уравнения математической физики», «Электроразведка» геофизических специальностей.
Рецензент: проф. каф. геофизики Пермского государственного научно-исследовательского университета (ПГНИУ) Б.А. Спасский.
Содержание
...
Список основных условных обозначений и сокращений 5
Предисловие 6
Глава 1. Численное исследование одномерных моделей 15
Введение 15
1.1. Метод конечных разностей 17
1.1.0. Основные понятия метода сеток 17
1.1.1. Стационарные задачи 28
1.1.2. Нестационарные задачи 36
1.1.3. Трехслойные разностные схемы 40
1.2. Вариационная формулировка задачи 42
1.2.1. Стационарные задачи 43
1.2.2. Нестационарные задачи 49
1.3. Метод Ритца и метод Галеркина 50
1.3.1. Основная идея метода Ритца и метода Галеркина 50
1.3.2. Применение методов Ритца и Галеркина 54
1.3.3. Метод конечных элементов. Примеры базисных функций и
алгоритмов численного решения задач 57
1.4. Метод вейвлет-Галеркина 82
1.4.1. Элементы теории дискретного вейвлет-преобразования 83
1.4.2. Вейвлет-Галеркинская аппроксимация функций 85
1.4.3. Постановка и решение одномерных задач 88
1.5. Метод интегральных уравнений 92
1.6. Вычислительные схемы для уравнения Гельмгольца на основе локальных
интегральных уравнений 100
1.7. Метод граничных элементов 103
1.8. О решении систем линейных алгебраических уравнений 114
1.8.1. Прямые методы 116
1.8.2. Итерационные методы 119
1.9. Альтернирующий метод Шварца 124
1.9.1. Решение задачи Дирихле для суммы двух областей по методу Шварца 126
1.9.2. Стационарные задачи геоэлектрики 129
1.9.3. Нестационарные задачи геоэлектрики 144
Заключение 159
Список литературы 160
Приложение. Основные математические понятия и определения 165
П.1. Некоторые функциональные пространства 165
П. 1.1. Пространство функций, интегрируемых с квадратом 165
П.1.2. Пространство непрерывных функций 166
П.2. Обобщенные ряды Фурье 167
П. 2.1. Ортогональные системы функций 167
П.2.2. Линейные операторы и некоторые их свойства 170
П.З. Обобщенная производной в смысле Соболева и пространство Hi 172
П.4. Пространства Соболева 174
П.5. Энергетические пространства 174
П.6. Квадратичные функционалы 177
Предисловие
Под моделью понимают такой объект, который в процессе изучения замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Ее можно рассматривать как специальную форму кодирования информации. Модель содержит в себе потенциальное знание, которое можно приобрести в процессе ее исследования.
Процесс построения и использования модели называется моделированием. Если результаты моделирования удовлетворяют исследователя и могут служить основой для прогнозирования поведения или свойств исследуемого объекта, то считают, что модель адекватна объекту.
Сущность математического моделирования состоит в замене исходного объекта его «образом» - математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью алгоритмов, реализуемых на компьютерах. Работа с моделью дает возможность исследовать ее свойства и поведение с различных точек зрения. Вычислительные эксперименты иногда позволяют изучать модели более полно и являются важным дополнением к чисто теоретическим подходам.
Процесс моделирования начинается с построения совокупности уравнений, данных и связей, отражающих в математической форме важнейшие свойства, обеспечивающие адекватность модели реальному объекту.
Изучение математической модели предполагает три этапа: теория - алгоритм - программа (см. рисунок).
...