Аннотация.               

Рассмотрены актуальные проблемы численного моделирования электромагнитных полей. Предложена модификация декомпозиционного решения задач геоэлектрики на основе альтернирующего метода Шварца, которая обеспечивает высокую скорость сходимости итерационного процесса и уменьшает количество решаемых подзадач. Кроме того, алгоритм обеспечивает минимально возможные размеры сеточной области, в которой одна из подзадач решается численно. На простых моделях исследована сходимость описанного в работе итерационного процесса.                        Построены алгоритмы декомпозиции задач произвольной размерности и экономичные способы согласования численного и аналитического решений подзадач. Приведены результаты расчетов по полуаналитическому решению двумерной задачи МТЗ и данные о скорости сходимости итерационного процесса.

​

Ключевые слова: геоэлектрика, прямые задачи, альтернирующий метод Шварца, декомпозиция

 

ВВЕДЕНИЕ

​

Типичной моделью среды в геоэлектрике является локальная неоднородность, содержащаяся в относительно простой по структуре неограниченной среде с регулярным распределением свойств. Чаще всего вмещающая среда является горизонтально-слоистой (электромагнитные зондирования на постоянном и переменном токе) или цилиндрически- слоистой (задачи каротажа или наземной электроразведки с источником поля в скважине). Решение для таких относительно простых моделей может быть найдено аналитически и представлено в виде несобственных интегралов (интегралов Фурье или Фурье-Бесселя). Задача состоит в изучении влияния достаточно сложно построенной локальной неоднородности на поле в слоистой среде.

Как известно, применение универсальных численных методов решения задач (метод конечных разностей или метод конечных элементов) в неограниченных областях требует

решения ряда проблем. Основные из них состоят в следующем.

1.      Нужно вместо неограниченной области перейти к области конечных размеров. Как ее выбрать?

2.      На границе сеточной области нужно вместо условий на бесконечности задать краевые условия. Как это сделать, если граничные значения будут известны только после решения задачи?

Обе проблемы можно решить посредством алгоритмов, базирующиеся на идеях альтернирующего метода Шварца. Декомпозиция сложных задач на ряд более простых подзадач и «сшивание» их решений посредством альтернирующего метода Шварца обсуждаются в работах [Канторович, Крылов, 1962; Завадский, 1972; Юдин, 1982; Ваньян и др., 1984]. Обобщение алгоритма Шварца на задачи геоэлектрики получили название декомпозиционного альтернирующего метода (ДАМ) [Юдин, 1985]. Один из многочисленных вариантов декомпозиции является алгоритм глобальной декомпозиции (ГДАМ). Суть его состоит в последовательном решении внешних и внутренних краевых задач, связанных между собой в итерационном процессе через краевые условия. Для обеспечения связи между задачами необходимо иметь непустое пересечение областей, в которых решаются задачи, участвующие в итерационном процессе Шварца. В нем одновременно строится решение задачи и краевые условия на границе сеточной области. Скорость сходимости последовательных приближений к искомому решению зависит от величины перекрытия (наложения) областей.

Развиваемые нами декомпозиционные подходы к решению прямых задач математической физики, базирующиеся на использовании альтернирующего метода Шварца, нашли применение при численном моделировании процессов распространения загрязнений в атмосфере [Filatov и др.,2001, Alexandrov, Filatov,2002].

ГДАМ в сочетании с численным решением краевых задач методом вейвлет-Галеркина [Юдин и др., 2001] позволяет справиться с проблемами, возникающие при аппроксимации граничных условий в вейвлет-базисе с большим числом коэффициентов фильтра быстрого дискретного вейвлет-преобразования [Юдин и др., 2002].

Одним из недостатков алгоритма глобальной декомпозиции является необходимость решения ряда внешних краевых задач [Юдин,1985]. Цель обсуждаемой а настоящей статье модификации ГДАМ состоит в достижении высокой скорости сходимости итерационного процесса Шварца за счет максимально возможной площади наложения областей, уменьшении количества решаемых подзадач и минимизации размеров области, в которой задача решается численно. Основные идеи этого варианта ГДАМ изложены в статье [Юдин М.Н., Юдин В.М., 2002].

Когда нормальная модель представляет собой слоистую среду, применение преобразования Фурье или Фурье-Бесселя к таким задачам понижает их размерность и обычно приводит к одномерным задачам для слоистых моделей среды с кусочно­постоянным распределением свойств. Поэтому сначала изучена сходимость модифицированного алгоритма Шварца на одномерных задачах, допускающих аналитические решения. Затем построен алгоритм вычислений применительно к стационарным и квазистационарным 2D и 3D задачам геоэлектрики и приведены результаты расчетов для двумерной задачи МТЗ (Е-поляризация).