Аннотация.

      Авторы поставили перед собой задачу познакомить читателя с алгоритмами обработки данных, отправной точкой для которых является вейвлет-анализ.

Рассмотрены основные интегральные преобразования двумерных данных, базирующиеся на идеях многомасштабного анализа и преобразования Радона. Сначала приведены некоторые сведения из теории непрерывного и дискретного вейвлет-преобразования, включая двумерные вейвлеты. Затем дана краткая характеристика интегральных преобразований и проиллюстрирована их работа на простых примерах из области геофизики.  

      Публикации по основам теории этих трансформаций на русском языке авторам не известны. Основные сведения получены из источников, доступных в Интернете. 

 

Ключевые слова.

Риджлеты (ridgelets), курвлеты (curvelets), вейвлеты (wavelets), Радон-преобразование (Radon transform), beamlet transform (бимлет-преобразование), ridgelet transform (риджлет-преобразование), curvelet transform (курвлет-преобразование), пороговая обработка (thrsholding).

 

Введение.

За последние 20 лет в прикладной математике был развит и оформился в самостоятельное направление раздел, получивший название «вейвлет-анализ» [Goupilland at all,1984; Добеши,2001; Чуи, 2001; Малла, 2005][1]. Начиная с девяностых годов прошлого века на основе идей вейвлет-преобразования сигналов начал интенсивно развиваться математический аппарат для анализа многомерных данных [Candès., Donoho,1999; Donoho,2000; Donoho, Huo X., 2001][2]. В настоящее время многомасштабное преобразование данных играет фундаментальную роль в теории аппроксимации.

Вейвлеты оперируют двумя основными параметрами: масштабом (scale) и положением (location). Двумерные вейвлеты, как правило, имеют только фиксированное количество направленных элементов (см. рис.2). Но в реальных сигналах могут присутствовать и другие направления, которые нужно подчеркнуть посредством трансформации данных. В последнее десятилетие появилось большое число публикаций, посвященных классу преобразований многомерных данных, которые включают дополнительный параметр – ориентацию линейных сегментов. Следует отметить цикл статей E. J. Candès and D. L. Donoho и ряда их соавторов. Наряду с алгоритмами многомасштабного анализа сигналов, индуцированными вейвлетами, этот класс интегральных трансформаций пронизывают идеи, содержащиеся в преобразовании Радона, - математическом аппарате, лежащем в основе компьютерной томографии [Deans, 1983; Нолет, 1990]. В отличии от вейвлетов, трансформации, о которых здесь пойдет речь, в число основных параметров включают три элемента: масштаб (scale), положение (location) и направление (direction) линейных сегментов данных.

Приведем перечень основных модификаций интегральных преобразований рассматриваемого класса: beamlet transform (бимлет-преобразование), ridgelet transform (риджлет- преобразование), curvelet transform (курвлет -преобразование). Эти и подобные им трансформации двумерных данных обладают высокой чувствительностью и точностью при обнаружении и выделении объектов и их границ. Для краткости, когда это не будет приводить к недоразумениям, будем называть все перечисленные выше и им подобные интегральные преобразования бимлет-преобразованиями[3]. Следует отметить, что имеются и другие не менее интересные многомасштабные подходы анализа данных, не рассмотренные в настоящей работе. Их количество неуклонно растет. Информацию о них можно найти посредством поиска в Интернете. Публикации по основам теории бимлет-преобразований на русском языке авторам не известны.

 Адаптивная фильтрация данных на основе выбора порога для усечения части коэффициентов в области изображений (thesholding) и последующего восстановление сигнала, является важной составной частью сжатия данных и/или увеличения отношения сигнал/шум. Центральное место здесь занимает выбор оптимального порога во множестве коэффициентов, который является границей между полезной информацией и наиболее вероятной помехой.

Математический аппарат, на котором базируются бимлет-преобразования, существенным образом опирается на функциональный анализ. Мы стремились дать описание теоретических аспектов алгоритмов, по возможности оставаясь в рамках втузовской программы математики и уделяя преимущественное внимание иллюстрации результатов их работы на простых тестовых примерах и реальных данных геофизики (сейсморазведки и электроразведки). Здесь мы ограничились анализом только двумерных данных.

Основные ссылки делаются на сайты в Интернете (см. библиографию в конце статьи), где можно найти исчерпывающую информацию о работах по соответствующей проблеме.

Обработка геофизической информации является той областью приложений интегральных трансформаций, которая стимулировала появление, развитие и становление вейвлет-анализа [Goupilland, Grossman, Morlet, 1984-85]. Многие алгоритмы обработки и интерпретации данных геофизики (в первую очередь, сейсморазведки и сейсмологии) по своей сути близки к многомасштабному (многооконному) «вейвлетоподобному» анализу больших объемов информации. Перевод этих эвристических алгоритмов, зажатых чаще всего рамками разного рода оконных технологий, на фундамент математически обоснованного многомасштабного анализа многомерных данных позволит достичь плодотворных результатов при выделении тонких полезных деталей сигналов на фоне случайных и/или регулярных помех [Hoekstra, 1992].

 

[1] http://crydee.sai.msu.ru/~vab/Wavelet.rsc/waveletpap.htm  www-stat.stanford.edu/~wavelab

[2] http://www.isye.gatech.edu/~beamlab

[3] Так как в них выполняется суммировании по прямым. Beam – в переводе на русский означает «луч».